Satunnaismuuttujien ja funktion odotusarvo
Binomijakauman ja väliä vastaavan tasaisen jakauman odotusarvoiksisaadaan ja Jakauman laajuutta — — odotusarvon ympärillä voidaanmitata tarkastelemalla etäisyyttä (joka itse on stokastinen muuttuja).
Satunnaismuuttujan jakaumaan liittyy pari sen reaaliakselille sijoittumista kuvaavaa tunnuslukua, nimittäin odotusarvo ja keskihajonta. Satunnaismuuttujan odotusarvo on sen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo, ts.
Vedon odotusarvo kertoo, kuinka paljon keskimäärin odotamme voittavamme vedosta. Täten sen laskeminen on kaikkein tärkein toimenpide, jonka vedonlyöjä voi tehdä pelikohteita valittaessa. Tässä artikkelissa käymme läpi miten odotusarvo lasketaan ja selvitämme millaisin palautusprosentein vedonvälittäjät tarjoavat kohteitaan.
Jos ovat satunnaismuuttujia, sekä , niin odotusarvo
Vedonvälittäjän tarjoama palautusprosentti kertoo yksinkertaistettuna sen, millaista odotusarvoa keskimääräinen pelaaja voi vedoiltaan keskimäärin odottaa. Lähtökohtaisesti isoimmat vedonvälittäjät tarjoavat kohteita pyöreästi 0,98 odotusarvolla, mutta on varsin yleistä että joillain yhtioillä palautusprosentti on 90% paikkeilla (odotusarvo 0,90). Tuo tarkoittaisi sitä, että jokaista 10 euron vetoa kohti häviäisit pitkässä juoksussa keskimäärin aina euron, melkoisen paljon siis.
Vedonvälittäjän tarjoaman palautusprosentin voi laskea helposti seuraavalla kaavalla:
✅ 1 / (1/kotivoiton kerroin + 1/tasapelin kerroin + 1/vierasvoiton kerroin)
Tai esimerkiksi, jos tarjolla on vain kaksi tulosvaihtoehtoa, niin alla olevalla tavalla tasapelivaihtoehdon poisjättäen. Jos NY Rangersin voittokerroin jatkoajat ja rankkarit huomioiden on 1,85 ja vastustaja Boston Bruinsin kerroin 2,05, niin vedonvälittäjän palautusprosentti lasketaan seuraavasti:
Heitettäessä noppaa neljästi olkoon saatujen kuutosten lukumäärä. Tiheysfunktion arvot on taulukoitu esimerkissä . Odotusarvoksi saadaan siten
Yleisesti toistokokeeseen liittyvän binomijakauman odotusarvo on ja keskihajonta , kun on toistojen lukumäärä ja on tarkasteltavan tapahtuman onnistumistodennäköisyys. Todistus sivuutetaan tässä.
Esimerkiksi yhdennopan heitossa odotusarvo on kyseessä on silmälukujen suora keskiarvo, koska kaikki pistetodennäköisyydetovat samoja.
Laske odotusarvot , , ja . Ovatko ja riippumattomia?
3. Arpajaisissa on myytävänä 300 kahden euron hintaista arpaa. Päävoittona on 100 euroa, toisena voittona 40 euroa ja kolmantena 20 euroa. Muita voittoja ei ole. Laske yhdellä arvalla saatavan voiton odotusarvo.
Edelleen odotusarvon lineaarisuuden vuoksi
4. Tarkastele pykälän tehtävän hajamielisen herran sateenvarjon unohtamisilmiötä. Määrää sen satunnaismuuttujan odotusarvo, joka ilmoittaa sen, kuinka monenteen kauppaan sateenvarjo on unohtunut. Piirrä myös tiheys- ja kertymäfunktioiden kuvaajat.
Arpanopan silmäluvun (tiheysfunktio ) odotusarvo ja varianssi ovat
Ylikerroin terminä tarkoittaa vetoa, joka on odotusarvo on positiivinen eli yli yhden. Tällaisia vetoja, eli ylikertoimia, pelaamalla olet pitkässä juoksussa voitollinen pelaaja.
Seuraavaksi lasketaan odotusarvo.
Tarkastellaan sitten kahden satunnaismuuttujan ja funktiota . Näin saatu on uusi satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo voitaisiin luonnollisesti laskea sen tiheysfunktion ja odotusarvon määritelmän avulla. Kuten yhden satunnaismuuttujan funktion tapauksessa, näin ei kuitenkaan tarvitse menetellä, vaan odotusarvo voidaan laskea suoraan seuraavan lauseen avulla. Todistus on samankaltainen kuin , joten se sivuutetaan.
Koska rahaston tuoton odotusarvo on suurempi, valitsemme sen.
Jos diskreetti satunnaismuuttuja saa arvot todennäköisyyksillä ,odotusarvo on Jos jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on , on odotusarvo Tämäkin on todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo, kuten nähdääntarkastelemalla integraalia vastaavaa Riemannin summaa.
b) Määritä silmälukujen summan odotusarvo.
Tämän investoinnin odotusarvo on positiivinen.
Analyytikko laski odotusarvon uudelle tuotteelle.
Odotusarvo antaa käsityksen tapahtuman todennäköisyydestä.